Permasalahan Jarak, Waktu, dan Kecepatan

Masalah 1: menunggu

Andi naik sepeda dari kota Yogya ke kota Solo yang berjarak 65 km, dengan kecepatan rata‐rata 30 km/jam. Sedangkan Beni juga bersepeda dari kota yang sama dengan kecepatan 25 km/jam. Mereka berangkat dalam waktu bersamaan, dan setelah menempuh perjalanan 2 jam Andi beristirahat sambil menunggu Beni. Berapa lama Andi menunggu Beni?

(Pretes Diklat Matematika SD, 2007: 3).

Alternatif penyelesaian:

Pada permasalahan di atas, biasanya mereka (para guru) terkecoh dengan jarak 65 km, padahal penyelesaian sangat sederhana, menerapkan rumus yang sudah ada. 

Dalam 2 jam Andi menempuh jarak 60 km.

Dalam 2 jam Beni menempuh jarak 50 km. 

Selisih jarak Andi dan Beni = (60 – 50) km = 10 km

Selisih jarak tersebut dapat ditempuh oleh Beni dalam waktu           

= (

= 24 menit

Jadi Andi menunggu Beni selama 24 menit

Masalah 2: berpapasan

Contoh 1: berpapasan dengan waktu berangkat sama

Jarak Yogyakarta‐Malang 350 km. Ali berangkat dari Yogya ke Malang pukul 06.00 WIB dengan mobil kecepatannya 60 km/jam. Pada waktu  dan rute yang sama Budi berangkat dari Malang menuju Yogya dengan mengendarai mobil yang kecepatannya 80 km/jam. Pada jarak berapa dan pukul berapa keduanya berpapasan?

Penyelesaian:

Untuk menyelesaikan masalah tersebut di atas, ada beberapa alternatif penyelesaian yang dapat didiskusikan seperti berikut ini.

Alternatif 1: menggunakan tabel

Dalam menggunakan tabel dimulai dengan perjalanan 1 jam berapa jarak yang telah ditempuh Ali dan Budi, 2 jam, dan seterusnya sampai diperoleh jumlah jarak yang telah ditempuh oleh Ali dan Budi jumlahnya merupakan jarak antara Yogya dan Malang.

No	Pukul	Jarak yang telah ditempuh (km)
		Ali	Budi	Ali dan Budi
1.	06.00	0	0	0
2.	07.00	60	80	140
3.	08.00	120	160	280
4.	08.30	150	200	350

Dari tabel tersebut dapat dilihat ternyata:

a.       Keduanya berpapasan pada pukul 08.30 WIB

b.      Keduanya berapapasan setelah Ali menemuh jarak 150 km dari Yogya atau Budi telah menempuh 200 km dari Malang.

Alternatif 2: menggunakan rumus jarak, waktu, dan kecepatan  Misalkan lama perjalanan dari berangkat sampai bertemu w jam, dengan menggunakan rumus: jarak = kecepatan × waktu, maka diperoleh:

jarak tempuh Ali + jarak tempuh Budi = 350

(kecepatan Ali × waktu tempuh) + (kecepatan Budi × waktu tempuh) = 350 60w + 80w = 350

         140w = 350              w   =  = 2 

Jadi mereka berpapasan setelah perjalanan selama 2 jam sesudah

pukul 06.00, berarti pukul 08.30 WIB.

Jarak sewaktu berpapasan:

•       Jarak Ali dari Yogya = (60 × 2 ) km = 150 km 

•       Jarak Budi dari Malang = (80 × 2 ) km = 200 km.

Alternatif 3: menggunakan grafik.

Dibuat grafik garis lurus dengan ketentuan sebagai berikut.

1.          Grafik perjalanan Ali dimulai dari titik (0,0), dan setiap jam ditempuh 60 km, sehingga titik kedua terletak pada koordinat (1,60). Dari titik (0,0) ditarik garis lurus melalui (1,60) dan diperpanjang sampai berpotongan dengan garis horisontal yang ditarik mulai dari titik (0,350) misal titik potong tersebut dinamakan titik P.

2.          Dari titik potong tersebut, ditarik garis vertikal dan memotong tegak lurus pada garis waktu, yaitu pada titik Q. Ternyata titik Q tersebut berada pada koordinat (0,5  ). Hal ini menunjukkan bahwa jarak

350 km dapat ditempuh oleh Ali dalam waktu 5  jam atau dapat

3.          Grafik perjalanan Budi dimulai dari titik (0,350) dan setiap jamnya ditempuh 80 km, sehingga titik kedua terletak pada koordinat (1,270). Dari titik (0,350) ditarik garis lurus melalui titik (1,270) diperpanjang sampai berpotongan dengan garis mendatar pada garis waktu, yaitu pada titik R. Ternyata titik R tersebut terletak pada  koordinat (4  ,0). Hal ini menunjukkan bahwa jarak 350 km dapat ditempuh oleh Budi selama 4  jam atau selama 4 jam 22  

menit.

4.          Dari grafik tersebut di atas dapat diketahui bahwa perpotongan kedua garis tersebut berada pada titik (2  ,150) artinya dalam perjalanan Ali dan Budi akan berpapasan pada pada jarak 150 km dari Yogya yang  ditempuh selama 2  jam.  

Alternatif 4: menggunakan sketsa/gambar

Kecepatan berkendara Ali 60 km/jam dari Yogya

Kecepatan berkendara Budi 80 km/jam dari Malang Jarak Yogya – Malang = 350 km

06.00  07.00 08.00 08.30 08.00 07.00 06.00  60 km 60 km 30 km 40 km 80 km 80 km

                1 jam     1 jam     1 jam     ¹2   jam               1 jam     1 jam

                2

Dalam menjelaskan ke siswa guru membuat sketsa di atas secara bertahap, dimulai dari pergerakan perjalanan per jamnya. Dari sketsa/gambar di atas tampak bahwa setelah 2,5 jam mereka akan bertemu karena jumlah jaraknya sudah 350 km.

Contoh 2: berpapasan dengan waktu berangkat berbeda

Adi berangkat dari kota A menuju kota B yang berjarak 159 km pada pukul 07.30 dengan mengendarai sepeda motor yang kecepatan rataratanya 48 km/jam. Seno berangkat dari kota B menuju kota A dengan sepeda motor dengan kecepatan rata‐rata 60 km/jam. Jika Seno berangkat setengah jam setelah perjalanan Adi, pada pukul berapakah mereka akan berpapasan? (Sukirman dan Rachmadi W., 2000: 44).

Penyelesaian:

Penyelesaian masalah contoh 2 di atas sebetulnya prinsipnya sama dengan contoh 1. Kita coba dengan menggunakan tabel. 

No	Pukul	Jarak yang telah ditempuh (km)
		Adi	Seno	Adi dan Seno
1.	07.30	0	0	0
2.	08.00	24	0	24
3.	08.30	48	30	78
4.	09.00	72	60	132
5.	09.15	84	75	159
6.	09.30	96	90	186

Dari tabel di atas, maka Adi dan Seno akan berpapasan pada pukul 09.15, yaitu dengan jarak 84 km dari kota A atau 75 km dari kota B. Cara lainnya dapat Anda coba sendiri dan diskusikan dengan teman sejawat.

Masalah 3: masalah perjalanan searah sehingga terjadi penyusulan Dalam menempuh suatu perjalanan searah dari suatu tempat pemberangkatan agar kendaraan yang satu memungkinkan untuk tersusul oleh kendaraan yang lain, maka kendaraan yang lebih lambat kecepatannya harus diberi kesempatan berangkat terlebih dahulu.

Dengan demikian terjadi selisih pemberangkatan.   

Asvin dan Septo berangkat dari Kota A menuju Kota B mengendarai sepeda motor dengan kecepatan berturut‐turut 30 km/jam dan 50 km/jam. Asvin berangkat terlebih dahulu, selang 3 jam baru Septo mulai berangkat. Berapa lama Asvin tersusul Septo dan berapa lama jarak yang telah ditempuhnya?

Penyelesaian:

Alternatif 1:dengan menggunakan tabel

Prinsip pemecahan masalah ini adalah, pada saat Asvin tersusul Septo, maka jarak tempuh keduanya sama.

No.	Lama perjalanan (jam)	Jarak tempuh
		Asvin (km)	Septo (km)
1.	1	30	0
2.	2	60	0
3.	3	90	0
4.	4	120	50
5.	5	150	100
6.	6	180	150
7.	7	210	200
8.	7,5	225	225
9.	8	240	250

Dari tabel tersebut dapat terlihat bahwa Asvin tersusul Septo setelah 7,5 jam perjalanan atau setelah Seto melakukan perjalanan dalam waktu 4,5 jam. Asvin tersusul Septo setelah menempuh jarak 225  

Alternatif 2:dengan menggunakan rumus

Cara pertama  dengan menggunakan rumus jarak sama dengan waktu kali kecepatan

Kecepatan Asvin = 30 km/jam atau k_A = 30 km/jam

Kecepatan Septo = 50 km/jam atau k_S = 50 km/jam

Setelah 3 jam baru Septo menyusul, maka Septo telah bergerak/berjalan w_S = w_A ‐3

Karena saat tersusul jarak tempuhnya sama, maka: 

                jA = jS

                       k_A × w_A = k_S × w_S

	30wA  = 50wS
	30wA  = 50(wA – 3)
	30wA        = 50wA – 150

               150        = 20w_A

                       7,5          = w_A

Jadi Asvin tersusul Septo setelah 7,5 jam perjalanan atau setelah Asvin menempuh jarak = (7,5 × 30) km = 225 km.

Cara kedua dengan menggunakan rumus waktu sama dengan jarak dibagi kecepatan (Sukarjono, 1998: 15).

Ketika Septo menyusul Asvin, jarak yang ditempuh sama. Jika jarak tersebut, misalkan j km, maka Asvin telah menempuh selama j  jam 30 (waktu tempuh = jarak dibagi kecepatan), sedangkan Septo telah menempuh j  jam.  50

Selisih waktunya 3 jam, sehingga  j – j  = 3 atau

30        50

                 5j – 3j  = 3 150            150

                               2 j  = 3

150

               j = 3×150  = 225

2

Jadi Septo menyusul Asvin setelah menempuh jarak 225 km, dalam jangka waktu = (  ) jam = 4  jam, sedangkan Asvin telah

berkendaraan selama = (3 + 4  ) jam = 7  jam.

Alternatif 3:dengan menggunakan grafik  Langkah‐langkahnya adalah sebagai berikut.

1.         Dibuat grafik garis lurus. 

2.         Grafik perjalanan Asvin dimulai dari titik (0,0), dan setiap jam ditempuh 30 km, sehingga titik kedua terletak pada koordinat (1,30). Buat garis lurus dari titik (0,0) melalui titik (1,30). Garis ini merupakan grafik perjalanan Asvin.

3.         Grafik perjalanan Septo dimulai dari titik (3,0), dan setiap jam ditempuh 50 km, sehingga titik kedua terletak pada koordinat (4,50). Buat garis lurus dari titik (3,0) melalui titik (4,50). Garis ini merupakan grafik perjalanan Septo. 

4.         Dari grafik tersebut di atas ternyata perpotongan kedua garis tersebut terletak pada titik (7  ,225), artinya Asvin tersusul Septo setelah menempuh jarak 225 km dalam waktu 7  jam, atau Septo dapat menyusul Asvin setelah berkendaraan selama 4  jam dan menempuh jarak 225 km.

Masalah 4: lari dengan arah berlawanan

Aji dan Dito berlari mengelilingi lapangan olah raga yang jaraknya 4 km dalam waktu berturut‐turut 6 menit dan 10 menit. Keduanya berlari dari tempat yang sama. Setelah berapa menit mereka berpapasan apabila:

a.         arah lari keduanya berlawanan?

b.         arah lari keduanya sama?

Penyelesaian:

a.          Kecepatan = waktujarak  

Kecepatan berlari Aji =  km/menit =  km/menit

Kecepatan berlari Dito =  km/menit =  km/menit 

Dalam satu menit jumlah jarak yang telah ditempuh 

             = (  +  ) km = ( +  ) km =  km

Jumlah jarak ketika mereka berpapasan = panjang lintasan lapangan

= 4 km

Jadi mereka bertemu setelah menempuh selama 

= (4 :  )menit = (4 ×  ) menit

=  (  ) menit = 3  menit.

b.         Jika gerakan lari sama arahnya, maka ketika mereka berpapasan selisih jarak yang ditempuh = panjang lintasan lapangan = 4 km

Dalam satu menit selisih jarak yang ditempuh                

= (  ‐  ) km 

        = ( ‐  ) km =  km

Jadi mereka berpapasan setelah berlari selama 

= (4 :  ) menit = (4 ×  ) menit 

= (  ) menit = 15 menit

Masalah 5: Kecepatan kapal berlayar

Kapal A berlayar di sungai Kapuas menuju ke hulu sejauh 30 mil, dalam jumlah waktu yang sama kapal B berlayar menuju ke hilir sejauh 50 mil pada sungai yang sama. Jika kecepatannya sekarang 5 mil/jam, berapakah kecepatan kedua kapal di air yang tenang?

Penyelesaian:

Misalkan kecepatan rata‐rata kapal di air tenang adalah x, oleh karena itu kecepatan ke hulu (x – 5) dan kecepatan ke hilir adalah (x + 5). Untuk

Jumlah waktu yang diperlukan untuk perjalanan ke hilir sama dengan waktu yang digunakan untuk perjalanan ke hulu, sehingga:

                  50 = 30  x + 5 x - 5

KPK dari (x  + 5) dan (x – 5) adalah (x  + 5).(x – 5), sehingga:

	50 (x  + 5).(x – 5).    x + 5	30 = (x  + 5).(x – 5). x - 5
	(x – 5).50	= (x  + 5).30
	50x – 250	= 30x + 150

        20x = 400            x = 20

Jadi kecepatan kapal di air tenang adalah 20 mil/jam.

Masalah 6: Kecepatan pesawat berlawanan arah

Dua buah pesawat terbang berangkat dari Jakarta pada saat yang sama dan berlawanan arah pada garis lurus yang sama. Kecepatan rata‐rata pesawat yang satu 40 km/jam lebih cepat dari pada pesawat yang lain. Apabila setelah 5 jam jarak kedua pesawat itu 2000 km, berapakah kecepatan rata‐rata setiap pesawat?

misal: k_B = x

               k_A = x +   40

Jumlah jarak keduanya setelah 5 jam = 2000 km, sehingga

(k_A × w) + (k_B × w)      = 2000

(x + 40) × 5 + x × 5 = 2000

        5x + 200 + 5x  = 2000

                        10x  = 2000 – 200                         10x  = 1800                             x  = 180

Jadi kecepatan pesawat A = 220 km/jam dan kecepatan pesawat B = 180 km/jam